逻辑回归的概念
Logistic Regression 在《机器学习》-周志华一书中又叫对数几率回归。逻辑回归和多重线性回归实际上有很多的相同之处，除了它们的因变量（函数）不同外，其他的基本差不多，所以逻辑回归和线性回归又统属于广义线性模型（generalizedlinear model）。
广义线性模型的形式其实都差不多，不同的就是因变量（函数）的不同。
- 如果是连续的，就是多重线性回归
- 如果是二项分布，就是Logistic回归
- 如果是Poisson分布，就是Poisson分布
- 如果是负二项分布，就是负二项回归
Logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。
线性回归-Logistic回归
Logistic回归的主要用途：
- 寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；
- 预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；
- 判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。
Logistic回归主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。
常规步骤
Regression问题的常规步骤为：
- 寻找h函数（即hypothesis）；
- 构造J函数（损失函数）；
- 想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）
构造预测函数（hypothesis）
Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
为了方便后面使用我们求出$g(z)$的导数：
$g^{‘}(z)=\frac1{1-e^{-x} } \cdot (1- \frac1{1-e^{-x} })=g(z)(1-g(z))$
Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示
构建预测函数
决策边界又分为线性的决策边界和非线性的决策边界
线性的决策边界：
非线性的决策边界：
对于线性边界的情况，边界形式如下：
$\theta_0+\theta_1x_1+\cdot \cdot \cdot + \theta_nx_n=\sum_{i=1}^n \theta_ix_i = \theta^Tx$
构建的预测函数为：
$h_\theta(x)=g(\theta^Tx)=\frac1{1+e^{-\theta^Tx}}$
构建损失函数
由于是二项分布，函数$h_ \theta(x)$的值就有特殊的含义，它所表示的是结果取1的概率，因此对于输入x的分类结果就判别为类别1和类别0的概率分别为：
$P(y=1|x;\theta)=h_\theta(x) \\ P(y=0|x;\theta)=1-h_\theta(x)$
所以：
$P(y|x;\theta) = {h_\theta(x) }^y{(1-h_\theta(x)) }^{1-y}$
构建似然函数
$L(\theta)=\prod_{i=1}^n P(y_i|x_i;\theta) =\prod_{i=1}^n {h_\theta(x_i) }^{y_i}{(1-h_\theta(x_i)) }^{1-y_i}$
对数似然函数
$l(\theta)=logL(\theta)=\sum_{i=1}^n(y_ilogh_\theta(x_i)+(1-y_i)log(1-h_\theta(x_i)))$
最大似然估计就是求使$l(\theta)$取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。
梯度下降法求的最小值
θ更新过程：
$\theta_j :=\theta_j-a(\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j})$
对$\theta$求偏导
$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j}=\frac{\partial g(\theta^Tx)}{\partial \theta_j}(\frac{y}{g(\theta^Tx)}-\frac{1-y}{g(\theta^Tx)})$
$=g(\theta^Tx)(1-g(\theta^Tx)) \frac{\partial\theta^Tx}{\partial \theta_j}(\frac{y}{g(\theta^Tx)}-\frac{1-y}{g(\theta^Tx)})$
$=(y(1-g(\theta^Tx))-(1-y)g(\theta^Tx))x_j$
$=(y-h_\theta(x))x_j$
θ更新过程就可以写为：
$\theta_j :=\theta_j-a\sum_{i=1}^n (y_i-h_\theta(x_i))x_i^j$
但是在在Andrew Ng的课程中将 $J(\theta)$取为下式，即：
$J(\theta)=-\frac{1}{m}l(\theta)$
因为乘了一个负的系数-1/m，所以取 $J(\theta)$最小值时的θ为要求的最佳参数。
$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j}=\frac 1 m \sum_{i=1}^n(h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j$
相应的$\theta$:
$\theta_j :=\theta_j-a \frac 1 m \sum_{i=1}^n (h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j$
向量化（Vectorization ）
Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。
如上式，Σ(…)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization。
下面介绍向量化的过程：
约定训练数据的矩阵形式如下，x的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特称取值：
g(A)的参数A为一列向量，所以实现g函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。由上式可知 $h_\theta(x)-y$可以由$g(A)-y$一次求得
θ更新过程可以改为
$\theta_j :=\theta_j-a \frac 1 m \sum_{i=1}^n (h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j=\theta_j-a \frac 1 m \sum_{i=1}^n e_ix_i^j=\theta_j-a \frac1 m x^TE$
综上所述，Vectorization后θ更新的步骤如下：
正则化Regularization
同样逻辑回归也有欠拟合、适合拟合、过拟合问题
对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型，可能会有些权重很大，有些权重很小，导致过拟合（就是过分拟合了训练数据），使得模型的复杂度提高，泛化能力较差（对未知数据的预测能力）。
下面左图即为欠拟合，中图为合适的拟合，右图为过拟合。
过拟合问题往往源自过多的特征。
解决方法
1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好）
- 可用人工选择要保留的特征；
- 模型选择算法；
2）正则化（特征较多时比较有效）
- 保留所有特征，但减少θ的大小
正则化方法
正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。
在线性回归算法的正则化问题,正则项可以取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的L2范数，也可以取L1范数。取平方损失时，模型的损失函数变为：
$J(\theta)=\frac1{2m}\sum_{i=1}^{n}(h_\theta(x_i)-y_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^n \theta_j^2$
lambda是正则项系数：
- 如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象；
- 如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。
正则化后的梯度下降算法θ的更新变为：
$\theta_j :=\theta_j-a \frac 1 m \sum_{i=1}^n (h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j - \frac \lambda m \theta_j$
其他优化算法
- Conjugate gradient method(共轭梯度法)
- Quasi-Newton method(拟牛顿法)
- BFGS method(局部优化法)
- L-BFGS(Limited-memory BFGS)（有限内存局部优化法）
后二者由拟牛顿法引申出来，与梯度下降算法相比，这些算法的优点是：
- 第一，不需要手动的选择步长；
- 第二，通常比梯度下降算法快；
但是缺点是更复杂。
多类分类问题
多类分类问题中,我们的训练集中有多个类(>2),我们无法仅仅用一个二元变量(0或1)来做判断依据。例如我们要预测天气情况分四种类型:晴天、多云、下雨或下雪。下面是一个多类分类问题可能的情况:
一种解决这类问题的途径是采用一对多(One-vs-All)方法（可以将其看做成二类分类问题：保留其中的一类，剩下的作为另一类 ）。在一对多方法中,我们将多类分类问题转化成二元分类问题。为了能实现这样的转变,我们将多个类中的一个类标记为正向类(y=1),然后将其他所有类都标记为负向类,这个模型记作：
$h_\theta^{(1)}(x)$
接着,类似地第我们选择另一个类标记为正向类(y=2),再将其它类都标记为负向类,将这个模型记作,
$h_\theta^{(2)}(x)$
依此类推。最后我们得到一系列的模型简记为:
$h_\theta^{(i)}(x)=p(y=i|x;\theta)$
其中 i = 1,2,3,…,k步骤可以记作下图：
最后,在我们需要做预测时,我们将所有的分类机都运行一遍,然后对每一个输入变量,都选择最高可能性的输出变量。
